Question

【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）用表示，中的較大者，記函數(shù)．若函數(shù)在內(nèi)恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時，，求出切點坐標(biāo)和切線斜率，通過直線的點斜式方程可求出切線方程。

（Ⅱ）對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負求單調(diào)性，同時注意對參數(shù)的討論。

（Ⅲ）由題可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則函數(shù)無零點。再對當(dāng)，當(dāng)的情況進行分類討論，最后得到答案。

解：（Ⅰ）當(dāng)時，，

∴．

∵，，

∴曲線在點處的切線方程為，

即切線方程為．

（Ⅱ）由已知得，

（1）當(dāng)時，，

∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增．

（2）當(dāng)時，令，

解得或．

由，解得或，

由，解得．

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（Ⅲ）∵函數(shù)的定義域為．

∴． ∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減．

（1）當(dāng)時，，

依題意，，則函數(shù)無零點．

（2）當(dāng)時，，，

①若，即，則是函數(shù)的一個零點；

②若，即，則不是函數(shù)的零點；

（3）當(dāng)時，，只需考慮函數(shù)在）內(nèi)零點的情況．

∵，

①當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增．

又，

（ⅰ）當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)無零點；

（ⅱ）當(dāng)時，，

又，

此時函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點；

②當(dāng)時，由（Ⅱ）知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．

∵，

，

∴此時函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點．

綜上，實數(shù)的取值范圍是．