Question

2．某學(xué)校組織知識(shí)測(cè)試，設(shè)置A、B、C三組測(cè)試項(xiàng)目供參賽同學(xué)選擇．甲、乙、丙三名同學(xué)參加比賽，其中甲參加A組測(cè)試，甲通過測(cè)試的概率為$\frac{1}{3}$；乙參加B組測(cè)試，乙通過測(cè)試的概率為$\frac{1}{2}$；丙參加C組測(cè)試，C組共有6道試題，丙只能答對(duì)其中4道題．根據(jù)規(guī)則，丙只能且必須選擇4道題作答，至少答對(duì)3道才能通過測(cè)試．
（Ⅰ）求丙通過測(cè)試的概率；
（Ⅱ）記A、B、C三組通過測(cè)試的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型的概率公式，求丙通過測(cè)試的概率；
（Ⅱ）確定ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和期望．

解答 解：（ I） 設(shè)丙通過測(cè)試為事件A，則P（A）=$\frac{{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{3}{5}$          …（3分）
（Ⅱ）ξ可取值為0，1，2，3，…（4分）
P（ξ=0）$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{30}$，P（ξ=1）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{30}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{11}{30}$，P（ξ=3）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{3}{30}$    …（8分）
則ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{30}$	$\frac{12}{30}$	$\frac{11}{30}$	$\frac{3}{30}$

…（10分）
所以ξ的期望是Eξ=0×$\frac{4}{30}$+1×$\frac{12}{30}$+2×$\frac{11}{30}$+3×$\frac{3}{30}$=$\frac{43}{30}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，正確求概率是關(guān)鍵．