Question

14．在直角梯形ABCO中，OA∥BC，OA⊥OC，在OA，BC邊上分別有兩點(diǎn)P，Q，若PQ平分該梯形的面積，求證：直線PQ必過一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)A（2，0），B（2a，b（，C（0，b），P（m，0），Q（n，b），利用面積關(guān)系，可得n=a+1-m，分類討論，求出直線PQ的方程，即可得出結(jié)論．

解答 證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)A（2，0），B（2a，b（，C（0，b），P（m，0），Q（n，b），
則S_OABC=b（a+1），S_OPQC=$\frac{b（m+n）}{2}$=$\frac{b（a+1）}{2}$，
∴n=a+1-m，
m=n時(shí)，直線PQ的方程為x=$\frac{a+1}{2}$，∴直線PQ過定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{a+1}{2}$．
m≠n時(shí)，直線PQ的方程為y=$\frac{n-m}（x-m）$，令x=$\frac{a+1}{2}$，結(jié)合n=a+1-m，可得y=$\frac{2}$，
綜上，直線PQ過定點(diǎn)（$\frac{a+1}{2}$，$\frac{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線PQ過定點(diǎn)，考查解析法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．