Question

10．某小學對五年級的學生進行體質測試，已知五年一班共有學生30人，測試跳遠的成績用莖葉圖表示如下（單位：cm）：
男生成績在175cm以上（包括175cm）定義為“合格”，成績在175cm以下（不包括175cm）定義為“不合格”．
女生成績在165cm以上（包括165cm）定義為“合格”，成績在165cm以下（不包括165cm）定義為“不合格”．
（Ⅰ）求男生跳遠成績的中位數；
（Ⅱ）如果用分層抽樣的方法從男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人數；
（Ⅲ）若從男、女生測試成績“合格”的學生中選取2名參加復試，用X表示其中男生的人數，寫出X的分布列，并求X的數學期望．

Answer 1

分析 （I）利用莖葉圖能求出男生跳遠成績的中位數．
（Ⅱ）用分層抽樣的方法，求出每個運動員被抽中的概率，根據莖葉圖，女生有18人，由此能求出抽取的女生的人數．
（Ⅲ）依題意，男生、女生測試成績合格的分別有8人、10人，X的取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（I）利用莖葉圖，得男生跳遠成績的中位數$\frac{176+178}{2}=177$（cm）．…（2分）
（Ⅱ）用分層抽樣的方法，每個運動員被抽中的概率是$\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$，…（4分）
根據莖葉圖，女生有18人，
∴抽取的女生有$18×\frac{1}{6}=3$（人）；…（6分）
（Ⅲ）依題意，男生、女生測試成績合格的分別有8人、10人…（7分）
X的取值為0，1，2，
則$P（X=0）=\frac{{C_{10}^2}}{{C_{18}^2}}=\frac{5}{17}$，
$P（X=1）=\frac{{C_8^1C_{10}^1}}{{C_{18}^2}}=\frac{80}{153}$，
$P（X=2）=\frac{C_8^2}{{C_{18}^2}}=\frac{28}{153}$，…（10分）
X的分布列如下：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{17}$	$\frac{80}{153}$	$\frac{28}{153}$

…（11分）
∴EX=$0×\frac{5}{17}+1×\frac{80}{153}+2×\frac{28}{153}$=$\frac{8}{9}$．…（12分）

點評 本題考查莖葉圖、分層抽樣的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．