Question

19．體育課上，李老師對(duì)初三（1）班50名學(xué)生進(jìn)行跳繩測試．現(xiàn)測得他們的成績（單位：個(gè)）全部介于20到70之間，將這些成績數(shù)據(jù)進(jìn)行分組（第一組：（20，30]，第二組：（30，40]，…，第五組：（60，70]），并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求成績?cè)诘谒慕M的人數(shù)和這50名同學(xué)跳繩成績的中位數(shù)；
（Ⅱ）從成績?cè)诘谝唤M和第五組的同學(xué)中隨機(jī)抽出3名同學(xué)進(jìn)行搭檔訓(xùn)練，設(shè)取自第一組的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）由頻率分布直方圖先求出第四組的頻率，由此能求出第四組的人數(shù)；利用頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出中位數(shù)．
（II）先求出第一組有2人，第五組有4人，成績?cè)诘谝唤M和第五組的同學(xué)中隨機(jī)抽出3名同學(xué)進(jìn)行搭檔訓(xùn)練，設(shè)取自第一組的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．

解答 解：（I）由頻率分布直方圖得第四組的頻率為：
1-（0.004+0.016+0.04+0.008）×10=0.32，
∴第四組的人數(shù)為0.32×50=16人，
∵前2組的頻率為（0.004+0.016）×10=0.2，
第三組的頻率為0.04×10=0.4，
設(shè)中位數(shù)為x，則x=40+$\frac{0.5-0.2}{0.4}×10$=47.5，
∴中位數(shù)為47.5．
（II）據(jù)題意，第一組有0.004×10×50=2人，第五組有0.008×10×50=4人，
成績?cè)诘谝唤M和第五組的同學(xué)中隨機(jī)抽出3名同學(xué)進(jìn)行搭檔訓(xùn)練，設(shè)取自第一組的人數(shù)為ξ，
則ξ=0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

∴E（ξ）=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．