Question

20．已知A類產(chǎn)品共兩件A₁，A₂，B類產(chǎn)品共三件B₁，B₂，B₃，混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件A類產(chǎn)品或者檢測出3件B類產(chǎn)品時，檢測結束．
（Ⅰ）求第一次檢測出B類產(chǎn)品，第二次檢測出A類產(chǎn)品的概率；
（Ⅱ）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用50元，設X表示直到檢測出2件A類產(chǎn)品或者檢測出3件B類產(chǎn)品時所需要的檢測費用（單位：元），求X的分布列和均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“第一次檢測出B類產(chǎn)品，第二次檢測出A類產(chǎn)品”的事件為C事件，由此利用等可能事件概率計算公式能求出第一次檢測出B類產(chǎn)品，第二次檢測出A類產(chǎn)品的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為100、150、200，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列的數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）記“第一次檢測出B類產(chǎn)品，第二次檢測出A類產(chǎn)品”的事件為C事件，
依題意有$P（C）=\frac{A_3^1•A_2^1}{A_5^2}=\frac{3}{10}$．…（4分）
（Ⅱ）X的可能取值為100、150、200，
$P（X=100）=\frac{A_2^2}{A_5^2}=\frac{1}{10}$，
$P（X=150）=\frac{A_3^3+C_3^1•C_2^1•A_2^2}{A_5^3}=\frac{3}{10}$，
$P（X=200）=1-\frac{1}{10}-\frac{3}{10}=\frac{6}{10}$，…（8分）
故X的分布列為

X	100	150	200
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$

…（10分）
$E（X）=100×\frac{1}{10}+150×\frac{3}{10}+200×\frac{6}{10}=175（元）$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．