Question

16．解關(guān)于x的不等式：$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≤1，其中a為參數(shù)．

Answer 1

分析 不等式$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≤1即為$\sqrt{{x}^{2}+1}$≤1+ax，作出函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$和直線y=1+ax，可得曲線為雙曲線的上支，漸近線為y=±x，直線恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），對(duì)a討論，通過(guò)直線的旋轉(zhuǎn)，觀察即可得到解集．

解答 解：不等式$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≤1即為
$\sqrt{{x}^{2}+1}$≤1+ax，
當(dāng)a=0時(shí)，解得x=0；
作出函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$和直線y=1+ax，
可得曲線為雙曲線的上支，漸近線為y=±x，
直線恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），
當(dāng)a＞0時(shí)，a≥1時(shí)，由圖象可得x=0成立；
0＜a＜1時(shí)，直線y=ax+1與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
解得x=0或$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$，
可得解為0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，a≤-1時(shí)，由圖象可得x=0成立；
-1＜a＜0時(shí)，由圖象可得$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$≤x≤0．
綜上可得，a=0或a≥1或a≤-1時(shí)，解集為{0}；
0＜a＜1時(shí)，解集為{x|0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$}；
-1＜a＜0時(shí)，解集為{x|$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$≤x≤0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含參不等式的解法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．