Question

17．利用定積分的定義計算${∫}_{2}^{3}$（x+2）dx．

Answer 1

分析 利用定積分的計算公式解答．

解答 解：（1）分割
如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形，用分點

n+1

n

．

n+2

n

，…

n+（n-1）

n

把區(qū)間[1，2]等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為△x=

1

n

，過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作△S₁，△S₂，…，△S_n．
（2）近似代替取各小區(qū)間的左端點ξ_i，用以點ξ_i的縱坐標ξ_i³為一邊，以小區(qū)間長△x=

1

n

為其鄰邊的小矩形面積近似代替第i個小曲邊梯形面積，可以近似地表示為
△S_i≈ξ_i³•△x=（

n+i-1

n

）3•

1

n

（i=1，2，3，…，n）．
（3）求和
因為每一個小矩形的面積都可以作為相應的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值，即S=

n

i=1

△Si=

n

i=1

（

n+i-1

n

）3•

1

n

①
（4）求極限
當分點數(shù)目愈多，即△x愈小時，和式①的值就愈接近曲邊梯形ABCD的面積S．因此，n→∞即△x→0時，和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積．

n

i=1

（

n+i-1

n

）3•

1

n

=

1

n4

•

n

i=1

（n+i-1）³
=

1

n4

•[n（n-1）³+3（n-1）²•

n（n+1）

2

+3（n-1）•

n

6

（n+1）（2n+1）+

1

4

n2（n+1）2，
∴S=

lim

n→∞

n

i=1

（

n+i-1

n

）3•

1

n

=1+

3

2

+1+

1

4

=

15

4

．解：${∫}_{2}^{3}$（x+2）dx=（$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$）|${\;}_{2}^{3}$=$\frac{9}{2}$；

點評 本題考查了定積分的計算；關鍵是熟記公式．