Question

17．利用定積分的定義計(jì)算${∫}_{2}^{3}$（x+2）dx．

Answer 1

分析 利用定積分的計(jì)算公式解答．

解答 解：（1）分割
如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯形，用分點(diǎn)

n+1

n

．

n+2

n

，…

n+（n-1）

n

把區(qū)間[1，2]等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長度為△x=

1

n

，過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作△S₁，△S₂，…，△S_n．
（2）近似代替取各小區(qū)間的左端點(diǎn)ξ_i，用以點(diǎn)ξ_i的縱坐標(biāo)ξ_i³為一邊，以小區(qū)間長△x=

1

n

為其鄰邊的小矩形面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形面積，可以近似地表示為
△S_i≈ξ_i³•△x=（

n+i-1

n

）3•

1

n

（i=1，2，3，…，n）．
（3）求和
因?yàn)槊恳粋�(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值，即S=

n

i=1

△Si=

n

i=1

（

n+i-1

n

）3•

1

n

①
（4）求極限
當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多，即△x愈小時(shí)，和式①的值就愈接近曲邊梯形ABCD的面積S．因此，n→∞即△x→0時(shí)，和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積．

n

i=1

（

n+i-1

n

）3•

1

n

=

1

n4

•

n

i=1

（n+i-1）³
=

1

n4

•[n（n-1）³+3（n-1）²•

n（n+1）

2

+3（n-1）•

n

6

（n+1）（2n+1）+

1

4

n2（n+1）2，
∴S=

lim

n→∞

n

i=1

（

n+i-1

n

）3•

1

n

=1+

3

2

+1+

1

4

=

15

4

．解：${∫}_{2}^{3}$（x+2）dx=（$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$）|${\;}_{2}^{3}$=$\frac{9}{2}$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的計(jì)算；關(guān)鍵是熟記公式．