Question

20．已知函數(shù)f（x）=x+1g$\frac{x+1}{1-x}$．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）在定義城上的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單凋性（不需要證明）；
（3）解不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可；（2）寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由$\frac{x+1}{1-x}$＞0，解得：-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的定義域是（-1，1），
而f（-x）=-x+lg$\frac{-x+1}{1+x}$=-x-lg$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)；
（2）f（x）在（-1，1）單調(diào)遞增；
（3）∵f（x-1）+f（2-3x）＞0，
∴f（x-1）＞f（3x-2），
∵f（x）是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1＜3x-2＜1}\\{x-1＞3x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．