Question

9．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．
（3）設(shè)g（t）=f（2t-a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)f（x）=ax²+bx+c，從而由f（0）=1可得c=1，而根據(jù)f（x+1）-f（x）=2x可以得到2ax+a+b=2x，從而可以求出a，b，從而得出f（x）=x²-x+1；
（2）由f（x）＞2x+m恒成立得到x²-3x+1＞m恒成立，可令h（x）=x²-3x+1，可判斷h（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，從而得到h（x）的最小值，這樣即可求出m的范圍；
（3）先求出g（t）=4t²-（4a+2）t+a²+a+1，該函數(shù)的對(duì)稱軸為t=$\frac{1+2a}{4}$，可討論對(duì)稱軸和0的關(guān)系：分$\frac{1+2a}{4}≥0$，和$\frac{1+2a}{4}＜0$兩種情況，然后可求出每種情況的g（t）的最大值．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），因?yàn)閒（0）=1，所以c=1；
∵f（x+1）-f（x）=2x；
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x；
∴2ax+a+b=2x；
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=0\end{array}\right.$；
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right.$；
∴f（x）=x²-x+1；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）＞2x+m恒成立即：x²-3x+1＞m恒成立；
令$h（x）={x^2}-3x+1={（x-\frac{3}{2}）^2}-\frac{5}{4}$，x∈[-1，1]；
因?yàn)閷?duì)稱軸$x=\frac{3}{2}$＞1，所以g（x）在上[-1，1]上遞減；
∴h（x）_min=h（1）=-1；
∴m＜-1；
∴實(shí)數(shù)m的范圍為（-∞，-1）；
（3）g（t）=f（2t-a）=4t²-（4a+2）t+a²+a+1，t∈[-1，1]，對(duì)稱軸為：$t=\frac{1+2a}{4}$；
①當(dāng)$\frac{1+2a}{4}≥0$，即：$a≥-\frac{1}{2}$時(shí)，$g{（t）_{max}}=g（-1）=4+（4a+2）+{a^2}+a+1={a^2}+5a+7$；
②當(dāng)$\frac{1+2a}{4}＜0$，即：$a＜-\frac{1}{2}$時(shí)，$g{（t）_{max}}=g（1）=4-（4a+2）+{a^2}+a+1={a^2}-3a+3$；
綜上所述：$g（t）_{max}=\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+5a+7}&{a≥-\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-3a+3}&{a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的一般形式，根據(jù)f（x）求f[g（x）]的方法，多項(xiàng)式相等時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，要熟悉二次函數(shù)的圖象．