Question

4．已知函數(shù)$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
（1）求證f（x）是奇函數(shù)；
（2）試判斷f（x）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）的定義域為R，變f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，這樣便可求出f（-x）=-f（x），從而證出f（x）為奇函數(shù)；
（2）容易看出f（x）在R上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，從而證明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在R上單調(diào)遞增．

解答 解：（1）證明：f（x）的定義域為R；
$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}=\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$；
∴$f（-x）=\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}=\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=-f（x）$；
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）在R上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又$（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．

點評 考查奇函數(shù)的定義及根據(jù)奇函數(shù)定義證明一個函數(shù)為奇函數(shù)的方法和過程，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷并證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．