Question

1．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{x-1}{x+1}$）²（x＞1）．
（1）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）用單調(diào)性的定義證明：f^-1（x）在定義域上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的值域，即f^-1（x）的定義域，令y=（$\frac{x-1}{x+1}$）²，解得x=$\frac{\sqrt{y}+1}{1-\sqrt{y}}$，得出f^-1（x）．
（2）設x₁，x₂是定義域的任意2個數(shù)，且x₁＜x₂，求出f^-1（x₁）-f^-1（x₂）并變形，判斷差的符號，得出結(jié)論．

解答 解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（$\frac{x-1}{x+1}$）²，解得x=$\frac{\sqrt{y}+1}{1-\sqrt{y}}$，∴f^-1（x）=$\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$，（0＜x＜1）．
（2）設0＜x₁＜x₂＜1，則f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=$\frac{1+\sqrt{{x}_{1}}}{1-\sqrt{{x}_{1}}}$-$\frac{1+\sqrt{{x}_{2}}}{1-\sqrt{{x}_{2}}}$=$\frac{（1+\sqrt{{x}_{1}}）（1-\sqrt{{x}_{2}}）-（1+\sqrt{{x}_{2}}）（1-\sqrt{{x}_{1}}）}{（1-\sqrt{{x}_{1}}）（1-\sqrt{{x}_{2}}）}$=$\frac{2（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）}{（1-\sqrt{{x}_{1}}）（1-\sqrt{{x}_{2}}）}$．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴1-$\sqrt{{x}_{1}}$＞0，1-$\sqrt{{x}_{2}}$＞0，$\sqrt{{x}_{1}}＜\sqrt{{x}_{2}}$，∴$\frac{2（\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}）}{（1-\sqrt{{x}_{1}}）（1-\sqrt{{x}_{2}}）}$＜0．
∴f^-1（x₁）-f^-1（x₂）＜0，即f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在定義域上為增函數(shù)．

點評 本題考查了反函數(shù)的求法，函數(shù)單調(diào)性的證明，不要忘記求出定義域．