Question

2．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足f（x+4）=f（x）+f（2），若方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-8．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出f（2）=0，求出函數(shù)的周期是4，根據(jù)函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．

解答 解：令x=-2，則f（-2+4）=f（-2）+f（2），
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（2）=f（2）+f（2），
即f（2）=0，
則f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），
則函數(shù)的周期是4，
若方程f（x）=m在[-2，2]上的兩根為x₃，x₄，則x₃+x₄=0，
若方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x₁，x₂，
則滿足x₁=x₃-4，x₂=x₄-4，
則x₁+x₂=x₃-4+x₄-4=-8，
法2：∵f（2）=0，∴f（-2）=0，
則f（2-8）=f（-6）=0，f（-2）=0，
則方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x₁=-2，x₂=-6，則x₁+x₂=-2-6=-8．
故答案為：-8

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．