Question

9．已知橢圓Г：$\frac{x^{2}}{a^{2}}$+$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（1）已知直線l：y=x，點M、N是直線l上不同的兩點，且F₁M、F₂N均與直線l垂直，求三角形F₁MN面積；
（2）過橢圓Г內(nèi)一點T（t，0）作兩條直線分別交橢圓Г于點A、C和B、D，設(shè)直線AC與BD的斜率分別是k₁，k₂，若|AT|•|TC|=|BT|•|TD|，證明：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{^{2}}$=1，從而解得橢圓方程；結(jié)合圖象求面積；
（2）由題意設(shè)直線AC的方程為x=$\frac{y}{{k}_{1}}$+t，從而與橢圓方程聯(lián)立化簡可得（4+$\frac{3}{{{k}^{2}}_{1}}$）y²+6t$\frac{1}{{k}_{1}}$x+3t²-12=0，從而可得|AT|•|TC|=（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{1}}$）•|y₁y₂|=（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{1}}$）•|$\frac{3{t}^{2}-12}{4+\frac{3}{{{k}^{2}}_{1}}}$|，|BT|•|TD|=（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{2}}$）•|$\frac{3{t}^{2}-12}{4+\frac{3}{{{k}^{2}}_{2}}}$|，從而證明．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{^{2}}$=1，
∴a²=4，c²=1，b²=3；
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
結(jié)合圖象可知，
|OF₁|=1，∠F₁OM=$\frac{π}{4}$；
|MF₁|=|OM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故S${\;}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$•|MN|•|MF₁|
=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$；
證明：（2）由題意，設(shè)直線AC的方程為x=$\frac{y}{{k}_{1}}$+t，
與$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1聯(lián)立消元可得，
（4+$\frac{3}{{{k}^{2}}_{1}}$）y²+6t$\frac{1}{{k}_{1}}$x+3t²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
∴y₁y₂=$\frac{3{t}^{2}-12}{4+\frac{3}{{{k}^{2}}_{1}}}$，
∴|AT|•|TC|=（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{1}}$）•|y₁y₂|=（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{1}}$）•|$\frac{3{t}^{2}-12}{4+\frac{3}{{{k}^{2}}_{1}}}$|，
同理可得，
|BT|•|TD|=（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{2}}$）•|$\frac{3{t}^{2}-12}{4+\frac{3}{{{k}^{2}}_{2}}}$|，
故（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{1}}$）•|$\frac{3{t}^{2}-12}{4+\frac{3}{{{k}^{2}}_{1}}}$|=（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{2}}$）•|$\frac{3{t}^{2}-12}{4+\frac{3}{{{k}^{2}}_{2}}}$|；
故（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{1}}$）（4+$\frac{3}{{{k}^{2}}_{2}}$）=（1+$\frac{1}{{{k}^{2}}_{2}}$）（4+$\frac{3}{{{k}^{2}}_{1}}$），
故$\frac{1}{{{k}^{2}}_{1}}$=$\frac{1}{{{k}^{2}}_{2}}$；
故k₁=k₂（舍去）或k₁=-k₂；
故k₁+k₂=0，為定值．

點評 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應用及判斷，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應用，屬于中檔題．