Question

4．空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M，N分別是BC與AD的中點，設AM和CN所成角為α，則cosα的值為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設O為MD的中點，連結(jié)ON、OC，則ON$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AM，從而∠ONC或其補角為異面直線AM與CN所成的角．由此能求出cosα的值．

解答 解：如圖，設O為MD的中點，連結(jié)ON、OC，則ON$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AM．∴∠ONC或其補角為異面直線AM與CN所成的角．
∵ON=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴OC=$\sqrt{M{C}^{2}+M{O}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{3}{16}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$a．
在△CON中，由余弦定理可得
cos∠CNO=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{3}{16}{a}^{2}-\frac{7}{16}{a}^{2}}{2•\frac{\sqrt{3}}{4}a•\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{2}{3}$．
∴cosα=$\frac{2}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意異面直線所成角的余弦值的求法．