Question

19．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁=1，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1為首項，公差d=2的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：∵當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，整理得：S_n-1-S_n=2S_n?S_n-1，
由題意知S_n≠0，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
即{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1為首項，公差d=2的等差數(shù)列．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$，n∈N^*．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2（n-1）-1}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1不滿足a_n，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出S_n的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．