Question

15．己知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，過點(diǎn)F作x軸的垂線與橢圓在第一象限于點(diǎn)P，直線OP交AB于點(diǎn)Q，若|OQ|=|AQ|，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 由已知得∠POF=∠BAO，∠PFO=∠BOA，從而△POF∽△BOA，由此能求出橢圓的離心率．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，
過點(diǎn)F作x軸的垂線與橢圓在第一象限于點(diǎn)P，直線OP交AB于點(diǎn)Q，|OQ|=|AQ|，
∴∠POF=∠BAO，∠PFO=∠BOA，∴△POF∽△BOA，
∴$\frac{OF}{OA}$=$\frac{PF}{OB}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{a}$，∴b=c，a=$\sqrt{2}c$
∴橢圓的離心率為：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\sqrt{2}c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．