Question

16．函數(shù)=ax²-2x+2．
（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有y＞0成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）若對(duì)滿足3＜x＜4的任意實(shí)數(shù)x都有y＞0成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a＞0，且△＜0，解不等式可得取值范圍；
（2）由題意可得ax²-2x+2＞0，即為a＞$\frac{2x-2}{{x}^{2}}$=-2[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]對(duì)3＜x＜4成立，求得右邊函數(shù)的取值范圍，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）由題意可得ax²-2x+2＞0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，
可得a＞0，且△＜0，
即有a＞0，且4-8a＜0，
解得a＞$\frac{1}{2}$．
則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）若對(duì)滿足3＜x＜4的任意實(shí)數(shù)x都有y＞0成立，
即有ax²-2x+2＞0，即為a＞$\frac{2x-2}{{x}^{2}}$=-2[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]對(duì)3＜x＜4成立，
由函數(shù)y=-2[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]在$\frac{1}{x}$∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）遞增，
即有x=3，可得-2[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]=$\frac{4}{9}$，
即有a≥$\frac{4}{9}$，
則a的范圍是[$\frac{4}{9}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用討論二次項(xiàng)的系數(shù)和參數(shù)分離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．