Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）對任意x∈R，有$g（x+\frac{π}{2}）=g（x）$，且當$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x），求g（x）在區(qū)間[-π，0]上的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的余弦函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)的表達式，直接利用周期公式求解即可．
（2）求出函數(shù)g（x）的周期，利用x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x），對x分類求出函數(shù)的解析式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x）+$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2x．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可得單調(diào)增區(qū)間為：[kπ$+\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x．
當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，x+$\frac{π}{2}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，g（x）=g（x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$sin2（x+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$sin2x．
當x∈[-π，-$\frac{π}{2}$）時，x+π∈[0，$\frac{π}{2}$]，g（x）=g（x+π）=$\frac{1}{2}$sin2（x+π）=$\frac{1}{2}$sin2x．
g（x）在區(qū)間[-π，0]上的解析式：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}sin2x}&{x∈[-\frac{π}{2}，0]}\\{\frac{1}{2}sin2x}&{x∈[-π，-\frac{π}{2}]}\end{array}\right.$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的化簡，考查計算能力，屬于基本知識的考查．