Question

9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c．若∠C=$\frac{2}{3}$π，a、b、c依次成等差數(shù)列，且公差為2，如圖．A′B′分別在射線CA，CB上運(yùn)動，且滿足A′B′=AB，設(shè)∠A′B′C′=θ，則△A′CB′周長最大值為7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意得知b=a+2，c=a+4，∠C=$\frac{2}{3}$π，從而利用余弦定理求得邊長，再由正弦定理求得各邊長，從而求周長即可．

解答 解：由題意得，
b=a+2，c=a+4，∠C=$\frac{2}{3}$π，
∴（a+4）²=a²+（a+2）²-2a（a+2）cos$\frac{2}{3}$π，
解得，a=3或a=-2（舍去），
故a=3，b=5，c=7，
∵$\frac{A′B′}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{A′C}{sinθ}$=$\frac{B′C}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$，
∴A′C=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$sinθ，B′C=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
∴△A′CB′周長l=7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$sinθ+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）
=7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$•2•sin$\frac{π}{6}$cos（θ-$\frac{π}{6}$），
故當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時(shí)有最大值為
7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$•2•$\frac{1}{2}$=7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$；
故答案為：7+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了解三角形的應(yīng)用及三角函數(shù)的化簡運(yùn)算，屬于中檔題．