Question

已知a＞0，f（log_ax）=

a

a2-1

（x-x^-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（3）對(duì)于f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f（1-m）+f（1-2m）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）換元法：令t=log_ax，則x=a^t，代入函數(shù)式可得解析式，利用奇偶函數(shù)的定義可判斷；
（2）利用函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷，分a＞1和0＜a＜1兩種情況進(jìn)行討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可作出判斷；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性進(jìn)行求解．

解答： （本題13分）解：（1）令log_a^x=t則x=a^t，
∴f（t）=

a

a2-1

(at-a-t)，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-t)；
（2）∵f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，a^-x遞減，-a^-x遞增，a^x遞增，所以a^x-a^-x遞增，
又

a

a2-1

＞0，所以f（x）在R上遞增；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a^-x遞增，-a^-x遞減，且a^x遞減，所以a^x-a^-x遞減，
又

a

a2-1

＜0，故此時(shí)f（x）遞增；
綜上，當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，f（x）在R上遞增．
（3）f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
∵f（x）為奇函數(shù)，且是增函數(shù)
∴f（1-m）＜（2m-1）
∴

1-m＜2m-1 -1＜1-m＜1 -1＜2m-1＜1

，
解得：

2

3

＜m＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬中檔題．