Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，記

AnAn+1

=（a_n，a_n+1）（n∈N^*），且

A1A2

∥

AnAn+1

對任意n∈N^*恒成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3對任意n∈N^*都成立？若存在，求出數(shù)列{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與向量的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

A1A2

=（1，2），又

A1A2

∥

AnAn+1

，對任意n∈N^*恒成立，得a_n+1=2a_n，n∈N^*，由此能求出a_n=2^n-1，n∈N^*．
（2）記S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，由錯位相減S_n=（2n-3）•2ⁿ+3，由此能求出存在等差數(shù)列{b_n}，b_n=2n-1，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3對任意n∈N^*都成立．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a₂=2，且

AnAn+1

=（a_n，a_n+1），（n∈N^*），
∴

A1A2

=（1，2），又

A1A2

∥

AnAn+1

，對任意n∈N^*恒成立，
∴a_n+1=2a_n，n∈N^*，
∴數(shù)列{a_n}為以1為首項2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1，n∈N^*．
（2）存在等差數(shù)列{b_n}，b_n=2n-1，
使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+3對任意n∈N^*都成立，
理由如下：記S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
則S_n=1•1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
∴2S_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ，②
①-②，得：-S_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+

4(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ
=-3-（2n-3）•2ⁿ，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3，
存在等差數(shù)列{b_n}，b_n=2n-1，
使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3對任意n∈N^*都成立．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的數(shù)列是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．