Question

已知，點(diǎn)B是軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作AB的垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)Q，若
,.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)是否存在定直線(xiàn)，以PM為直徑的圓與直線(xiàn)的相交弦長(zhǎng)為定值，若存在,求出定直線(xiàn)方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

(1) y²=x，此即點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)存在定直線(xiàn)x=，以PM為直徑的圓與直線(xiàn)x=的相交弦長(zhǎng)為定值。

解析試題分析：(1)設(shè)B(0，t)，設(shè)Q(m，0)，t²=|m|， m0，m=-4t²，
 Q(-4t²，0)，設(shè)P(x，y)，則=(x-，y)，
=(-4t²-，0)，2=(-，2 t)， +=2。
(x-，y)+ (-4t²-，0)= (-，2 t)，
 x=4t²，y="2" t， y²=x，此即點(diǎn)P的軌跡方程； 6分。
(2)由(1)，點(diǎn)P的軌跡方程是y²=x；設(shè)P(y²，y)，M (4，0) ，則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點(diǎn)T(，), 以PM為直徑的圓與直線(xiàn)x=a的相交弦長(zhǎng):
L=2
=2=2 10分
若a為常數(shù)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)y，L為定值的條件是a-="0," 即a=時(shí)，L=
存在定直線(xiàn)x=，以PM為直徑的圓與直線(xiàn)x=的相交弦長(zhǎng)為定值。13分
考點(diǎn)：本題主要考查拋物線(xiàn)方程，軌跡方程的求法，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，首先利用幾何條件，確定向量的坐標(biāo)，并運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，確定得到拋物線(xiàn)方程。在直線(xiàn)與圓的去位置關(guān)系研究中，充分利用了圓的“特征三角形”，確定弦長(zhǎng)。