Question

4．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，$\sqrt{3}$），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，1）的斜率不為0的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，求證：A′B恒過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=$\sqrt{3}$，將P的坐標(biāo)代入橢圓方程，由a，b，c的關(guān)系可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即有A'（-x₁，y₁），直線AB的方程設(shè)為y=kx+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得直線A'B的方程，令x=0，求得y，化簡整理，即可得到定值4，即有直線A'B恒過定點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=$\sqrt{3}$，將P的坐標(biāo)代入橢圓方程可得：
$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，又a²-b²=3，
解得a=2，b=1，
即有橢圓的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即有A'（-x₁，y₁），
直線AB的方程設(shè)為y=kx+1，代入橢圓方程4x²+y²=4，可得：
（4+k²）x²+2kx-3=0，可得x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4+{k}^{2}}$，
直線A'B的方程為y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$（x+x₁），
令x=0，可得y=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}+1）+{x}_{2}（k{x}_{1}+1）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$+1=$\frac{2k•（-3）}{-2k}$=1=4．
則A′B恒過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線恒過定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的點(diǎn)斜式方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．