Question

已知函數(shù)f（x）=sin（

π

2

-x）+sinx
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（a-

π

4

）=

2

3

，求f（2a+

π

4

）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,弦切互化,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式化sin（

π

2

-x）為余弦，然后化積，則周期可求，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的增區(qū)間；
（2）把f（a-

π

4

）=

2

3

代入（1）中的解析式求得sina，分類求出cosa，把f（2a+

π

4

）代入（1）中的函數(shù)解析式整理后展開倍角公式求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=sin（

π

2

-x）+sinx
=cosx+sinx=sinx+cosx
=

2

(

2

2

sinx+

2

2

cosx)
=

2

(sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

)
=

2

sin(x+

π

4

)．
∴T=2π，
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得
-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]，k∈Z；
（2）由f（a-

π

4

）=

2

3

，得

2

sin(a-

π

4

+

π

4

)=

2

3

，∴sina=

1

3

，
∴cosa=±

2 2

3

．
則f（2a+

π

4

）=

2

sin(2a+

π

4

+

π

4

)=

2

cos2a=

2

(2cos2a-1)．
當(dāng)cosa=±

2 2

3

時，f（2a+

π

4

）=

7 2

9

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．