Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)F（x）=

x3-ax2+a2x     (x＞a) 1 3 x3+ax2-a2x    (x≤a)

的導(dǎo)函數(shù)為g（x）．
（Ⅰ） 求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)x＞a時(shí)，求函數(shù)f（x）=F（x）-x的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可函數(shù)g（x）的最小值；
（Ⅲ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍即可確定函數(shù)f（x）=F（x）-x的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x＞a時(shí)，g（x）=3x²-2ax+a²，
當(dāng)x≤a時(shí)，g（x）=x²+2ax-a²，
即g（x）=

3x2-2ax+a2，x＞a x2+2ax-a2，x≤a

．
（Ⅱ）當(dāng)x＞a時(shí)，g（x）=3x²-2ax+a²=3(x-

a

3

)2+

2a2

3

當(dāng)x≤a時(shí)，g（x）=x²+2ax-a²=（x+a）²-2a²．
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，g（x） min=-2a2，
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，g（x） min=

2a2

3

，
詳解如下：當(dāng)x≥a時(shí)，g（x）=3x²-2ax+a²，g(x)min?=

g(a)=2a2，a≥0 g( a 3 )= 2a2 3 ，a＜0

；
當(dāng)x≤a時(shí)，g（x）=x²+2ax-a²，g(x)min?=

g(-a)=-2a2，a≥0 g(a)=2a2，a＜0

，
∴綜上g(x)min?=

-2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

．
（Ⅲ）當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）=F（x）-x=x³-ax²+（a²-1）x，
∴f'（x）=3x²-2ax+（a²-1），（x＞a）．
先求△=（-2a）²-12（a²-1）=4（3-2a²）分類討論如下：
（1）當(dāng)△≤0，即a≤-

6

2

或a≥

6

2

時(shí)，f'（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時(shí)恒成立，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞），
（2）當(dāng)△＞0，即-

6

2

＜a＜

6

2

時(shí)，
方程3x²-2ax+（a²-1）=0在R上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁=

a- 3-2a2

3

，x2=

a+ 3-2a2

3

，
顯然x₁＜x₂；我們注意到x＞a，因此我們有必要對(duì)x₁，a，x₂的大小進(jìn)行比較．此時(shí)可作如下的分類討論：
①當(dāng)a＜x₁即a＜

a- 3-2a2

3

時(shí)，在（2）的大前提下，可解得：-

2

2

＜a＜

2

2

，
此時(shí)f'（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0，
在x＞a時(shí)的解集為（a，x₁]∪[x₂，+∞），
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為(a，

a- 3-2a2

3

]與[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．
②當(dāng)x₁≤a＜x₂，
即

a- 3-2a2

3

≤a＜

a+ 3-2a2

3

時(shí)，在（2）的大前提下，
可解得：-

2

2

≤a＜

2

2

，
此時(shí)f'（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時(shí)的解集為[x₂，+∞），
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．
③當(dāng)a≥x₂，即a≥

a+ 3-2a2

3

時(shí)，在（2）的大前提下，可解得：

2

2

≤a＜

6

2

，
此時(shí)f'（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時(shí)的解集為（a，+∞），
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（a，+∞）
綜上所述：
（1）當(dāng)a≤-

6

2

或a≥

2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（a，+∞）
（2）當(dāng)-

6

2

＜a＜-

2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為(a，

a- 3-2a2

3

]與[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．
（3）當(dāng)-

2

2

≤a＜

2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意分類討論．