Question

2．平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=PD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點
（1）求證：PB∥平面EFG；
（2）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離為$\frac{4}{5}$，若存在，求出DQ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）假設(shè)相等，根據(jù)等積式求出即可．

解答 解：（1）取AB中點H，連接EH，HG，如圖示：
E、F、G、H分別是PA、PD、CD、AB中點
⇒EF∥AD，AD∥GH
⇒EF∥GH
⇒E、F、G、H四點共面
又E、H分別為PA、AB的中點
⇒EH∥PB，
而EH?平面EFG    
所以PB∥平面EFG…（6分）
（2）在線段AB上取AQ′=DQ=a，
則S_△AEF=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
S_△EFQ=S_△EFQ′=$\frac{1}{2}$×1×a=$\frac{a}{2}$，
由V_Q-AEF=V_A-EFQ
⇒$\frac{1}{3}$S_△AEF•HE=${\frac{1}{3}S}_{△EFQ}$•$\frac{4}{5}$
⇒$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1{+a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{a}{2}$×$\frac{4}{5}$
⇒a=$\frac{4}{3}$．
即存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離為$\frac{4}{5}$，
此時DQ=$\frac{4}{3}$…（12分）

點評 本題考查了線面平行的判定定理，考查距離的計算，是一道中檔題．