Question

14．平面內(nèi)有向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），點(diǎn)M（2x，x）
（1）當(dāng)$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$取最小值時(shí)，求$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)M滿足（1）的條件和結(jié)論時(shí)，求cos∠AMB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積，得到5x²-20x+12，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出x的值，問題得以解決，
（2）根據(jù)cos∠AMB=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}$，即可求出答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），點(diǎn)M（2x，x），
∴$\overrightarrow{MA}$=（1-2x，7-x），$\overrightarrow{MB}$=（5-2x，1-x），
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（1-2x）（5-2x）+（7-x）（1-x）=5x²-20x+12=5（x-2）²-8
當(dāng)x=2時(shí)，$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$取最小值，
∴$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)為（4，2），
（2）由（1），得$\overrightarrow{MA}$=（-3，5），$\overrightarrow{MB}$=（1，-1），
∴|$\overrightarrow{MA}$|=$\sqrt{34}$，|$\overrightarrow{MB}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-8，
∴cos∠AMB=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}•\sqrt{2}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和函數(shù)最值問題，以及數(shù)量積定義的應(yīng)用，屬于中檔題．