Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n．
（1）求a₂，a₃，及{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求{$\frac{1}{a_n}$}的前n項(xiàng)和T_n，并證明：1≤T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知等式確定出a₂，a₃，得出{a_n}的通項(xiàng)公式即可；
（2）表示出{$\frac{1}{a_n}$}的前n項(xiàng)和T_n，根據(jù)前n項(xiàng)和T_n為遞增數(shù)列，確定出T_n的范圍，即可得證．

解答 解：（1）由S₂=$\frac{4}{3}$a₂，a₁=1，得到3（a₁+a₂）=4a₂，
解得：a₂=3a₁=3；
由S₃=$\frac{5}{3}$a₃得3（a₁+a₂+a₃）=5a₃，
解得：a₃=$\frac{3}{2}$（a₁+a₂）=6．
由題設(shè)知a₁=1，
當(dāng)n＞1時(shí)有a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
整理得：a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1．
于是a₁=1，a₂=$\frac{3}{1}$a₁，a₃=$\frac{4}{2}$a₂，…，a_n-1=$\frac{n}{n-2}$a_n-2，a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，
將以上n個(gè)等式兩端分別相乘，整理得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
綜上，{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴T_n=2[$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$]=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=2-$\frac{2}{n+1}$＜2，即T_n＜2，
又T_n+1＞T_n，{T_n}單調(diào)增，
∴T_n＞=T₁=1，
則1≤T_n＜2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，拆項(xiàng)法，以及數(shù)列的遞推式，熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．