Question

9．已知雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與圓x²+y²=c²（c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）交A、B、C、D四點，若四邊形ABCD是正方形，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\sqrt{1+\sqrt{2}}$x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x
• D． y=±$\sqrt{\sqrt{2}-1}$x

Answer 1

分析 聯(lián)立雙曲線方程和圓方程，求得交點，由于四邊形ABCD是正方形，則有x²=y²，即為c²-$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$=$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，運用雙曲線的a，b，c的關系和漸近線方程，即可得到結論．

解答 解：聯(lián)立雙曲線方程$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1和圓x²+y²=c²，
解得，x²=b²-$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，y²=c²-$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，
由于四邊形ABCD是正方形，
則有x²=y²，即為c²-$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$=$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$，
即c⁴=2b⁴，即c²=a²+b²=$\sqrt{2}$b²，
即有a=$\sqrt{\sqrt{2}-1}$b，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{ax}$，
即為y=±$\sqrt{\sqrt{2}-1}$x．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立雙曲線方程和圓的方程求解交點，考查漸近線方程的求法，屬于中檔題．