1.在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線C1:$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1(0<a<2),曲線C2:x2+y2-x-y=0,Q是C2上的動(dòng)點(diǎn),P是線段OQ延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且P滿足|OQ|•|OP|=4.
(Ⅰ)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,化C2的方程為極坐標(biāo)方程,并求點(diǎn)P的軌跡C3的方程;
(Ⅱ)設(shè)M、N分別是C1與C3上的動(dòng)點(diǎn),若|MN|的最小值為$\sqrt{2}$,求a的值.

分析 (Ⅰ)由x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲線C2,運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換可得極坐標(biāo)方程;設(shè)Q(ρ',θ),P(ρ,θ),代入極坐標(biāo)方程,化簡(jiǎn)整理可得所求點(diǎn)P的軌跡C3的方程;
(Ⅱ)設(shè)M(acosθ,sinθ),運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域,可得最小值,解方程可得a的值.

解答 解:(Ⅰ)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入曲線C2:x2+y2-x-y=0,
即為ρ2-ρ(sinθ+cosθ)=0,
可得C2的極坐標(biāo)方程為$ρ=\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4})$,
設(shè)Q(ρ',θ),P(ρ,θ),則$ρ'=\sqrt{2}sin(θ+\frac{π}{4})$,
由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4,從而$\sqrt{2}ρsin(θ+\frac{π}{4})=4$,
即有$\sqrt{2}$ρ($\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ)=4,
故C3的直角坐標(biāo)方程為x+y=4;
(Ⅱ)設(shè)M(acosθ,sinθ),
則M到直線C3的距離$d=\frac{{|{acosθ+sinθ-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{{a^2}+1}sin(θ+φ)-4}|}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{{4-\sqrt{{a^2}+1}}}{{\sqrt{2}}}$,
所以$\frac{4-\sqrt{1+{a}^{2}}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$,
解得$a=\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用,以及點(diǎn)到直線的距離公式,考查三角函數(shù)的輔助角公式和正弦函數(shù)的值域的運(yùn)用,屬于中檔題.

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