Question

1．在平面直角坐標系中，已知曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1（0＜a＜2），曲線C₂：x²+y²-x-y=0，Q是C₂上的動點，P是線段OQ延長線上的一點，且P滿足|OQ|•|OP|=4．
（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，化C₂的方程為極坐標方程，并求點P的軌跡C₃的方程；
（Ⅱ）設(shè)M、N分別是C₁與C₃上的動點，若|MN|的最小值為$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C₂，運用三角函數(shù)的恒等變換可得極坐標方程；設(shè)Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代入極坐標方程，化簡整理可得所求點P的軌跡C₃的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（acosθ，sinθ），運用點到直線的距離公式，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，可得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲線C₂：x²+y²-x-y=0，
即為ρ²-ρ（sinθ+cosθ）=0，
可得C₂的極坐標方程為$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
設(shè)Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），則$ρ'=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4，從而$\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4$，
即有$\sqrt{2}$ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）=4，
故C₃的直角坐標方程為x+y=4；
（Ⅱ）設(shè)M（acosθ，sinθ），
則M到直線C₃的距離$d=\frac{{|{acosθ+sinθ-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{{a^2}+1}sin（θ+φ）-4}|}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{{4-\sqrt{{a^2}+1}}}{{\sqrt{2}}}$，
所以$\frac{4-\sqrt{1+{a}^{2}}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
解得$a=\sqrt{3}$．

點評 本題考查直角坐標與極坐標的轉(zhuǎn)化，考查橢圓的參數(shù)方程的運用，以及點到直線的距離公式，考查三角函數(shù)的輔助角公式和正弦函數(shù)的值域的運用，屬于中檔題．