Question

8．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）為奇函數(shù)，且其圖象上相鄰的一個最高點與一個最低點之間的距離為$\sqrt{4+{π}^{2}}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$（-$\frac{π}{3}$＜α＜0），求sin（2α-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用余弦函數(shù)的奇偶性求得φ，再利用余弦函數(shù)的圖象特征求得ω的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由f（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$，求得sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，可得cos（α-$\frac{π}{6}$）的值，進而求得sin（α-$\frac{π}{6}$）的值，從而利用二倍角公式求得sin（2α-$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）為奇函數(shù)，可得φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{2}$）=-sinωx．
又其圖象上相鄰的一個最高點與一個最低點之間的距離為$\sqrt{4+{π}^{2}}$，可得$\sqrt{{2}^{2}{+（\frac{π}{ω}）}^{2}}$=$\sqrt{{4+π}^{2}}$，∴ω=1，f（x）=-sinx．
（2）∵f（α+$\frac{π}{3}$）=-sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$（-$\frac{π}{3}$＜α＜0），∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$，
即 $\frac{2}{3}$=cos[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{3}$）]=cos（$\frac{π}{6}$-α）=cos（α-$\frac{π}{6}$），∴sin（α-$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{3}$）=2 sin（α-$\frac{π}{6}$）•cos（α-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的周期性，誘導公式，余弦函數(shù)的圖象，同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式的應用，屬于中檔題．