Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a，x∈[-2，2]時，求：
（1）f（x）的最小值；
（2）f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先求二次函數(shù)f（x）的對稱軸x=-$\frac{a}{2}$，討論對稱軸和區(qū)間[-2，2]的關系：分$-\frac{a}{2}≤-2，-2＜-\frac{a}{2}＜2，-\frac{a}{2}≥2$三種情況，根據(jù)f（x）的單調(diào)性及取得頂點的情況求f（x）的最小值；
（2）根據(jù)（1）分成的三種情況，對應著求出每種情況下f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）的對稱軸為$-\frac{a}{2}$；
∴①$-\frac{a}{2}≤-2$，即a≥4時，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增；
∴f（x）的最小值為f（-2）=7-3a；
②-2＜$-\frac{a}{2}＜2$，即-4＜a＜4時，f（$-\frac{a}{2}$）=$-\frac{{a}^{2}}{4}-a+3$為f（x）的最小值；
③$-\frac{a}{2}≥2$，即a≤-4時，f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減；
∴f（x）的最小值為f（2）=a+7；
（2）由上面知，①a≥4時，f（2）=a+7為f（x）的最大值；
②-4＜a＜4時，f（-2）=7-3a，f（2）=7+a；
∴-4＜a＜0時，f（-2）＞f（2），∴此時f（x）的最大值為f（-2）=7-3a；
a=0時，f（-2）=f（2）=7，∴此時f（x）的最大值為7；
0＜a＜4時，f（-2）＜f（2），∴此時f（x）的最大值為7+a；
③a≤-4時，f（-2）=7-3a為f（x）的最大值．

點評 考查二次函數(shù)對稱軸，根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的關系討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，利用增函數(shù)或減函數(shù)的定義以及取得頂點的情況求二次函數(shù)最值的方法．