Question

9．棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，沿平面A₁ACC₁將正方體分成兩部分，其中一部分如圖所示，過直線A₁C的平面A₁CM與線段BB₁交于點M．
（Ⅰ）當(dāng)M與B₁重合時，求證：MC⊥AC₁；
（Ⅱ）當(dāng)平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁時，求平面A₁CM分幾何體所得兩部分體積之比．

Answer 1

分析 （I）由AB⊥平面BCC₁B₁可得AB⊥B₁C，又B₁C⊥BC₁，故而B₁C⊥平面ABC₁，于是B₁C⊥AC₁；
（II）當(dāng)M為B₁B中點，分別取A₁C、AC中點N、P，連結(jié)MN、NP、PB，則可證四邊形四邊形PBMN是平行四邊形，由面面垂直可得BP⊥平面A₁ACC₁，從而MN⊥平面A₁ACC₁，故平面MA₁C⊥平面A₁ACC₁．于是M為B₁B中點．分別計算被平面MA₁C分成的兩個四棱錐的體積，得出體積比．

解答 解：（Ⅰ）連接C₁B

∵正方形B₁BCC₁中，∴BC₁⊥B₁C，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵AB⊥平面B₁BCC₁，B₁C∈平面B₁BCC₁，
∴AB⊥B₁C，又AB?平面ABC₁，BC₁?平面ABC₁，AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁，∵AC₁?平面ABC₁，
∴BC⊥AC₁，即MC⊥AC₁．
（Ⅱ）當(dāng)M為B₁B中點時，
分別取A₁C、AC中點N、P，連結(jié)MN、NP、PB

則MB∥A₁A∥NP，且$MB=NP=\frac{1}{2}{A_1}A$，
∴四邊形MBPN為平行四邊形，∴MN∥PB，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，PB⊥AC，
∴BP⊥平面A₁ACC₁，
∴MN⊥平面A₁ACC₁，∵MN?平面M₁AC，
∴平面MA₁C⊥平面A₁ACC₁．
設(shè)AB=a，
∴V${\;}_{四棱錐{A}_{1}-MC{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{梯形MC{C}_{1}{B}_{1}}•{A}_{1}{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a+\frac{a}{2}）×a×a$=$\frac{1}{4}{a}^{3}$，
V${\;}_{四棱錐C-ABM{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABM{A}_{1}}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a+\frac{a}{2}）×a×a$=$\frac{1}{4}{a}^{3}$．
∴V${\;}_{四棱錐{A}_{1}-MC{C}_{1}{B}_{1}}$：V${\;}_{四棱錐C-ABM{A}_{1}}$=1：1．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．