Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線(xiàn)與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B，當(dāng)$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|＜\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$時(shí)，求直線(xiàn)斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和直線(xiàn)和圓相切的條件：d=r，可得b=1，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線(xiàn)為y=k（x-2），代入橢圓方程x²+2y²=2，可得x的方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理解不等式即可得到所求直線(xiàn)的斜率的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
以x²+y²=b²的圓與直線(xiàn)x-y+$\sqrt{2}$=0相切，可得
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=b，即b=1，
即為a²-c²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線(xiàn)為y=k（x-2），
代入橢圓方程x²+2y²=2，可得
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
可得△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
即為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由弦長(zhǎng)公式可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（8{k}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{2-4{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
由題意可得$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{2-4{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$＜$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
化簡(jiǎn)可得56k⁴+38k²-13＞0，
解得k²＞$\frac{1}{4}$，即有k＞$\frac{1}{2}$或k＜-$\frac{1}{2}$，
綜上可得直線(xiàn)的斜率的范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和直線(xiàn)和圓相切的條件：d=r，考查直線(xiàn)的斜率的范圍，注意聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．