Question

5．如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2AO=2，AB=AD．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （I）連接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由題設(shè)可得AO²+CO²=AC²，由此能夠證明AO⊥平面BCD．
（II）取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，知ME∥AB，OE∥DC，故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中，$EM=\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，OE=\frac{1}{2}DC=1$，由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦．
（III）設(shè)點E到平面ACD的距離為h．在△ACD中，$CA=CD=2，AD=\sqrt{2}$，可求S△ACD，由AO=1，可求S△CDE，由此能求出點E到平面ACD的距離．

解答 （本題滿分13分）
解：（I）證明：連結(jié)OC，∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得$AO=1，CO=\sqrt{3}$．
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（II）解：取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB，OE∥DC，
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，
在△OME中，$EM=\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，OE=\frac{1}{2}DC=1$，
∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線，
∴$OM=\frac{1}{2}AC=1$，
∴$cos∠OEM=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
（III）解：設(shè)點E到平面ACD的距離為h．
$\begin{array}{l}∵{V_{E-ACD}}={V_{A-CDE}}，\\∴\frac{1}{3}h．{S_{△ACD}}=\frac{1}{3}．AO．{S_{△CDE}}.\end{array}$
在△ACD中，$CA=CD=2，AD=\sqrt{2}$，
∴${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{{2^2}-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．
而$AO=1，{S_{△CDE}}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$h=\frac{{AO．{S_{△CDE}}}}{{{S_{△ACD}}}}=\frac{{1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{7}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
∴點E到平面ACD的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查點、線、面間的距離的計算，考查空間想象力和等價轉(zhuǎn)化能力，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意化立體幾何問題為平面幾何問題，屬于中檔題．