Question

9．已知經(jīng)過原點的直線l與直線l₁：x+y+2=0，l₂：2x+3y+1=0分別交于A、B兩點，且線段AB的中點恰好是原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 設(shè)出直線l的方程，根據(jù)這條直線與另外兩條直線都相交，求出交點的坐標，根據(jù)原點是兩個交點的中點，求出直線的斜率，即可得出方程．

解答 解：由題意，直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)斜率為k，則直線l的方程為y=kx；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2}{k+1}}\\{y=\frac{-2k}{k+1}}\end{array}\right.$，
∴點A（$\frac{-2}{k+1}$，$\frac{-2k}{k+1}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{2x+3y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1}{2+3k}}\\{y=\frac{-k}{2+3k}}\end{array}\right.$，
∴點B（$\frac{-1}{2+3k}$，$\frac{-k}{2+3k}$）；
又原點O是AB的中點，
∴$\frac{-2}{k+1}$+$\frac{-1}{2+3k}$=0，
解得k=-$\frac{5}{7}$；
∴直線l的方程為y=-$\frac{5}{7}$x．

點評 本題考查了兩條直線的交點坐標和中點坐標公式，解題的關(guān)鍵是正確寫出兩條直線的交點坐標，利用中點坐標公式求出斜率，是基礎(chǔ)題目．