Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}$，S_n）在曲線y=2x²-2上．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得S_n=2a_n-2，從而a₁=2，S_n-1=2a_n-1-2，由此能證明數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由a_n=2ⁿ，得b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（$\sqrt{{a}_{n}}$，S_n）在曲線y=2x²-2上，
∴S_n=2a_n-2，①
∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，整理，得a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
解：（2）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴數(shù)列的前n項(xiàng)和：
T_n=$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{15}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．