17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)($\sqrt{{a}_{n}}$,Sn)在曲線y=2x2-2上.
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=$\frac{{a}_{n}}{({a}_{n}+1)({a}_{n+1}+1)}$,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)由已知得Sn=2an-2,從而a1=2,Sn-1=2an-1-2,由此能證明數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
(2)由an=2n,得bn=$\frac{{a}_{n}}{({a}_{n}+1)({a}_{n+1}+1)}$=$\frac{{2}^{n}}{({2}^{n}+1)({2}^{n+1}+1)}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$,由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.

解答 證明:(1)∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)($\sqrt{{a}_{n}}$,Sn)在曲線y=2x2-2上,
∴Sn=2an-2,①
∴a1=S1=2a1-2,解得a1=2,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-2,②
①-②,得:an=2an-2an-1,整理,得an=2an-1,
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
解:(2)∵數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
∴an=2n
∴bn=$\frac{{a}_{n}}{({a}_{n}+1)({a}_{n+1}+1)}$=$\frac{{2}^{n}}{({2}^{n}+1)({2}^{n+1}+1)}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$,
∴數(shù)列的前n項(xiàng)和:
Tn=$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{15}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+3),當(dāng)x∈(0,$\frac{3}{2}$)時(shí),f(x)=sin πx,且f($\frac{3}{2}$)=0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-6,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( 。
A.18B.17C.8D.9

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

8.已知a>0,集合M={x|0≤ax+1≤3},N={x|-1≤x≤4},若M∪N=N,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

5.已知函數(shù)f(x)=x2-ax+4在(-∞,1)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.函數(shù)f(x)=2x-2+ex-1的零點(diǎn)所在區(qū)間為( 。
A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

2.Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若2S4=S2+2,則S6的最小值為$\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

9.已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與直線l1:x+y+2=0,l2:2x+3y+1=0分別交于A、B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)恰好是原點(diǎn),求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=$\frac{kx+1}{{x}^{2}+c}$(c>1,k∈R)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),其中的一個(gè)極值點(diǎn)是x=-c.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的另一個(gè)極值點(diǎn);
(Ⅱ)記函數(shù)f(x)的極大值為M、極小值為m,若M-m≥1,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為A1C1,BB1的中點(diǎn),B1C⊥AB,側(cè)面BCC1B1為菱形.求證:
(Ⅰ)DE∥平面ABC1;
(Ⅱ)B1C⊥DE.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案