分析 (1)由已知得Sn=2an-2,從而a1=2,Sn-1=2an-1-2,由此能證明數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
(2)由an=2n,得bn=$\frac{{a}_{n}}{({a}_{n}+1)({a}_{n+1}+1)}$=$\frac{{2}^{n}}{({2}^{n}+1)({2}^{n+1}+1)}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$,由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.
解答 證明:(1)∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)($\sqrt{{a}_{n}}$,Sn)在曲線y=2x2-2上,
∴Sn=2an-2,①
∴a1=S1=2a1-2,解得a1=2,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-2,②
①-②,得:an=2an-2an-1,整理,得an=2an-1,
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
解:(2)∵數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
∴an=2n,
∴bn=$\frac{{a}_{n}}{({a}_{n}+1)({a}_{n+1}+1)}$=$\frac{{2}^{n}}{({2}^{n}+1)({2}^{n+1}+1)}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$,
∴數(shù)列的前n項(xiàng)和:
Tn=$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{15}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
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