Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3的菱形，∠ABC=60°．PA⊥面ABCD，且PA=3．F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．
（Ⅰ）若CE∥面BDF，求PE：ED的值；
（Ⅱ）求二面角B-DF-A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行推理得到E為PD中點(diǎn)即可求PE：ED的值；
（Ⅱ）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，即可求二面角B-DF-A的大小．

解答 證明：（Ⅰ）過E作EG∥FD交AP于G，連接CG，
連接AC交BD于O，連接FO．
∵EG∥FD，EG?面BDF，F(xiàn)D?面BDF，
∴EG∥面BDF，又EG∩CE=E，CE∥面BDF，EG，CE?面CGE，
∴面CGE∥面BDF，…（3分）
又CG?面CGE，∴CG∥面BDF，
又面BDF∩面PAC=FO，CG?面PAC，
∴FO∥CG．
又O為AC中點(diǎn)，∴F為AG中點(diǎn)，且AF=1，∴AF=FG=1，
∵PA=3，
∴FG=GP=1，
∴E為PD中點(diǎn)，PE：ED=1：1．…（6分）
（Ⅱ）過點(diǎn)B作BH⊥直線DA交DA延長(zhǎng)線于H，過點(diǎn)H作HI⊥直線DF交DF于I，…（8分）

∵PA⊥面ABCD，∴面PAD⊥面ABCD，
∴BH⊥面PAD，由三垂線定理可得DI⊥IB，
∴∠BIH是二面角B-DF-A的平面角．
由題易得AH=$\frac{3}{2}$，BH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，HD=$\frac{9}{2}$，
且$\frac{HI}{HD}=\frac{AF}{DF}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，∴HI=$\frac{9\sqrt{10}}{20}$，
∴tan∠BIH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×$\frac{20}{9\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$，…（10分）
∴二面角B-DF-A的大小為arcran$\frac{\sqrt{30}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用以及二面角的求解，利用相應(yīng)的性質(zhì)定理以及作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．