Question

7．已知一次函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）本題可以直接設(shè)一次函數(shù)的解析式，然后通過(guò)代入法，利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，建立方程組求解；
（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，構(gòu)造不等式，解得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=kx+b（k≠0），則f（x+1）=k（x+1）+b=kx+k+b=x+3a，
故k=1，b=3a-1，
又∵f（a）=3，即a+3a-1=3，
解得：a=1，b=2，
∴f（x）=x+2；
（2）∵g（x）=x•（x+2）+λ（x+2）+1=x²+（λ+2）x+2λ+1的圖象是開口朝上，且以直線x=$-\frac{λ+2}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
若g（x）在（0，2）上具有單調(diào)性，
則$-\frac{λ+2}{2}$≤0，或$-\frac{λ+2}{2}$≥2，
解得：λ≤-6，或λ≥-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等于系數(shù)法求函數(shù)的解析式，難度中檔．