Question

12．已知冪函數(shù)f（x）=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的圖象關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱，且在（0，+∞）上函數(shù)值隨x的增大而減少，則：
（1）寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下求滿足${（a+1）}^{-\frac{m}{3}}$＜${（3-2a）}^{-\frac{m}{3}}$的a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=$\frac{1}{x•f（x）}$+$\frac{8b}{{x}^{2}•f（x）}$，其中4≤x≤16，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）冪函數(shù)f（x）=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）在（0，+∞）上函數(shù)值隨x的增大而減少，解得-1＜m＜3，由m∈N^*，得m的可能取值為1，2，由其圖象關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱，求出m=2，從而求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由已知得$（a+1）^{-\frac{2}{3}}$＜$（3-2a）^{-\frac{2}{3}}$，再由y=x^-3在（-∞，0），（0，+∞）上均遞減，能求出a的取值范圍．
（3）由已知得g（x）=（x+4b）²-16b²，由此根據(jù)b的取值范圍進(jìn)行分類討論，能求出g（x）的最小值．

解答 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈N^*）的圖象關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱，且在（0，+∞）上函數(shù)值隨x的增大而減少，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m-3是奇數(shù)}\\{{m}^{2}-2m-3＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜m＜3，
∵m∈N^*，∴m的可能取值為1，2，
當(dāng)m=1時(shí)，m²-2m-3=1-2-3=-4，不成立；
當(dāng)m=2時(shí)，m²-2m-3=-3，成立，∴m=2，
∴f（x）=x^-3．
（2）∵m=2，${（a+1）}^{-\frac{m}{3}}$＜${（3-2a）}^{-\frac{m}{3}}$，
∴$（a+1）^{-\frac{2}{3}}$＜$（3-2a）^{-\frac{2}{3}}$，
∵y=x^-3在（-∞，0），（0，+∞）上均遞減，
∴a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得$\frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2}$或a＜-1（不成立）．
∴a的取值范圍是（$\frac{2}{3}，\frac{3}{2}$）．
（3）g（x）=$\frac{1}{x•f（x）}$+$\frac{8b}{{x}^{2}•f（x）}$=$\frac{1}{{x}^{-2}}$+$\frac{8b}{{x}^{-1}}$=x²+8bx=（x+4b）²-16b²，
∵4≤x≤16，
∴當(dāng)-4b≤4，即b≥-1時(shí)，$g（x）_{min}=g（4）=（4+4b）^{2}-16^{2}$=16b+16；
當(dāng)4＜-4b＜16，即-4＜b＜-1時(shí)，g（x）_min=g（-4b）=-16b²；
當(dāng)-4b≥16，即b≤-4時(shí)，g（x）_min=（16+4b）²-16b²=64b+256．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．