Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），其中a＞0且a≠1．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）若f（

3

5

）=2，求使f（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式有意義的條件即可求f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)f（

3

5

）=2，可得：a=2，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求使f（x）＞0的x的解集．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則

1+x＞0 1-x＞0

，
解得-1＜x＜1，
即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
（2）∵f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）若f（

3

5

）=2，
∴l(xiāng)og_a（1+

3

5

）-log_a（1-

3

5

）=log_a4=2，
解得：a=2，
∴f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
若f（x）＞0，則log₂（x+1）＞log₂（1-x），
∴x+1＞1-x＞1，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集為（0，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域，奇偶性和不等式的求解，要求熟練對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．