Question

如圖中的楊輝三角最早出現(xiàn)于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》．它有很多奇妙的性質(zhì)，如每個(gè)數(shù)等于它肩上兩數(shù)之和．記圖中從上到下第i行從左到右第j個(gè)數(shù)為（i，j）．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n+2，3），n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

Sn

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n證明：1≤T_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）觀察知數(shù)列{（n+1，2）}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．S_n=S_n-1+n，由此能求出a_n=n，n∈N^*．
（Ⅱ）Sn=

n(n+1)

2

，

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能證明1≤T_n＜2．

解答： 解：（Ⅰ）觀察知數(shù)列{（n+1，2）}是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列．
而n≤2時(shí)，S_n=（n+2，3）=（n+1，2）+（n+1，3）=S_n-1+n，
∴a_n=S_n-S_n-1=n．
又n=1時(shí)，S₁=（3，3）=1也適合上式．a(chǎn)_n=n，n∈N^*．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）．（9分）
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

），
∵T_n+1-T_n=2（1-

1

n+2

）-2（1-

1

n+2

）-2（1-

1

n+1

）
=2（

1

n+1

-

1

n+2

）
=

2

(n+1)(n+2)

＞0，
∴{T_n}是遞增數(shù)列，又T₁=1，∴1≤T_n＜2．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式1≤T_n＜2的證明，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．