Question

18．某電視臺推出一檔游戲類綜藝節(jié)目，選手面對1-5號五扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂，選手需正確回答這首歌的名字，回答正確，大門打開，并獲得相應(yīng)的家庭夢想基金，回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著目前的獎(jiǎng)金離開，還是繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門以獲得更多的夢想基金，但是一旦回答錯(cuò)誤，游戲結(jié)束并將之前獲得的所有夢想基金清零；整個(gè)游戲過程中，選手有一次求助機(jī)會(huì)，選手可以詢問親友團(tuán)成員以獲得正確答案．
1-5號門對應(yīng)的家庭夢想基金依次為3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金額為打開大門后的累積金額，如第三扇大門打開，選手可獲基金總金額為8000元）；設(shè)某選手正確回答每一扇門的歌曲名字的概率為p_i（i=1，2，…，5），且p_i=$\frac{6-i}{7-i}$（i=1，2，…，5），親友團(tuán)正確回答每一扇門的歌曲名字的概率均為$\frac{1}{5}$，該選手正確回答每一扇門的歌名后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門的概率均為$\frac{1}{2}$；
（1）求選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率；
（2）若選手在整個(gè)游戲過程中不使用求助，且獲得的家庭夢想基金數(shù)額為X（元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件“選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金”為事件A．利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求得概率．
（2）寫出X的所有可能取值并求得其概率和分布列．

解答 解：設(shè)事件“該選手回答正確第i扇門的歌曲名稱”為事件A_i，“使用求助回答正確歌曲名稱”為事件B，
事件“每一扇門回答正確后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)下一扇門”為事件C；則
$P（{A}_{1}）=\frac{5}{6}，P（{A}_{2}）=\frac{4}{5}，P（{A}_{3}）=\frac{3}{4}$，$P（{A}_{4}）=\frac{2}{3}，P（{A}_{5}）=\frac{1}{2}$，$P（B）=\frac{1}{5}，P（C）=\frac{1}{2}$…（2分）
（1）設(shè)事件“選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金”為事件A，則：
A=A₁CA₂C $\overline{{A}_{3}}BC{A}_{4}\overline{C}=\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{5}×\frac{2}{3}$×$（\frac{1}{2}）^{4}=\frac{1}{720}$
∴選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率為$\frac{1}{720}$；…（6分）
（2）X的所有可能取值為：0，3000，6000，8000，12000，24000；
P（X=3000）=P（A₁$\overline{C}$）=$\frac{5}{6}×\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$；
P（X=6000）=P（A₁ CA₂ $\overline{C}$）=$\frac{5}{6}$×$\frac{4}{5}$×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{6}$；
P（X=8000）=P（A₁ CA₂ CA₃ $\overline{C}$）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×（\frac{1}{2}）^{3}=\frac{1}{16}$；
P（X=12000）=P（A₁ CA₂ CA₃ CA₄ $\overline{C}$）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{2}）^{4}=\frac{1}{48}$；
P（X=24000）=P（A₁ CA₂ CA₃ CA₄ CA₅）=$\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{2}）^{5}=\frac{1}{96}$；
P（X=0）=P（$\overline{{A}_{1}}$）+P（A₁C $\overline{{A}_{2}}$）+P（A₁CA₂C $\overline{{A}_{3}}$）+P（A₁CA₂CA₃C $\overline{{A}_{4}}$）+P（A₁CA₂CA₃CA₄C $\overline{{A}_{5}}$）=$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}=\frac{31}{96}$；
（或P（X=0）=1-（P（X=3000）+P（X=6000）+P（X=8000）+P（X=12000）+P（X=24000）
=1-$（\frac{5}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{16}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}）=1-\frac{65}{96}=\frac{31}{96}$）．
∴X的分布列為：

X	0	3000	6000	8000	12000	24000
P	$\frac{31}{96}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{48}$	$\frac{1}{96}$

∴EX=0×$\frac{31}{96}$+3000×$\frac{5}{12}$+6000×$\frac{1}{6}$+8000×$\frac{1}{16}$+12000×$\frac{1}{48}$+24000×$\frac{1}{96}$
=1250+1000+500+250+250=3250（元）
∴選手獲得的家庭夢想基金數(shù)額為X的數(shù)學(xué)期望為3250（元）…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和隨機(jī)變量的期望，屬中檔題型，高考�？碱}型