Question

8．設(shè)$\overrightarrow{OM}$=（2，1），$\overrightarrow{ON}$=（0，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足0≤$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$≤1，0≤$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{ON}$≤1，則x-y的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OP}=（x，y）$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{0≤2x+y≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$，畫(huà)出該不等式組所表示的平面區(qū)域，設(shè)z=x-y，從而有y=x-z，將該式看成在y軸上的截距為-z的直線(xiàn)，從而根據(jù)圖形找到使-z取最大值，即使z取最小值的點(diǎn)，將該點(diǎn)坐標(biāo)帶入z=x-y便得到z的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}=2x+y$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{ON}=y$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤2x+y≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$；
該不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D陰影部分所示：
設(shè)z=x-y，即y=x-z；
∴當(dāng)直線(xiàn)y=x-z的截距-z最大時(shí)，z最��；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$得陰影部分最左邊的點(diǎn)為（$-\frac{1}{2}，1$），當(dāng)y=x-z過(guò)該點(diǎn)時(shí)z最��；
∴$1=-\frac{1}{2}-z$；
∴z=$-\frac{3}{2}$；
即x-y的最小值為$-\frac{3}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，能找出不等式組表示的平面區(qū)域，利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)求最值的方法．