Question

3．已知n∈N^*，n≥2，求證：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）（n∈N^*，n≥2），運用裂項相消求和和放縮法，結合不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 證明：由$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$
=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）（n∈N^*，n≥2），
可得1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）
=2（$\sqrt{n}$-1）＜2$\sqrt{n}$．
則原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用裂項相消和放縮法證明，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．