Question

14．如圖，點F（0，2）是拋物線x²=2py的焦點．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）若點P為圓O：x²+y²=1上一動點，直線l是圓O在點P處的切線，直線l與拋物線相交于A，B 兩點（A，B在y軸的兩側(cè)），求四邊形OAFB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點F（0，2）是拋物線x²=2py的焦點，求出p=4，即可得到拋物線方程．
（Ⅱ）設直線AB：y=kx+b，利用直線與圓相切，得到b²=1+k²，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x^2}=8y}\end{array}}\right.$消去y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由韋達定理求出x₁+x₂=8k，x₁•x₂=-8b，表示四邊形OAFB的面積，通過b的范圍，求解S_OAFB的最小值．

解答 解：（Ⅰ）點F（0，2）是拋物線x²=2py的焦點，可得p=4，拋物線方程為：x²=8y…．（5分）
（Ⅱ）設直線AB：y=kx+b
由直線與圓相切得：$\frac{|b|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即b²=1+k²…①…．（7分）
$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x^2}=8y}\end{array}}\right.$化簡整理得：x²-8kx-8b=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=8k，x₁•x₂=-8b…．（9分）
∵A，B在y軸兩側(cè)，
∴x₁•x₂＜0即b＞0…②
由①②得b≥1${S_{OAFB}}=\frac{1}{2}×OF×|{x_1}|+\frac{1}{2}×OF×|{x_2}|$…．（11分）
=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{64{k^2}+32b}=4\sqrt{4{b^2}+2b-4}（b≥1）$…．（13分）
當b=1時，S_OAFB的最小值為$4\sqrt{2}$…．（15分）

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應用，考查計算能力．