Question

18．已知A、B為拋物線C：y²=4x上的不同的兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，則$|{\overrightarrow{AB}}|$=（　�。�

• A． $\frac{25}{3}$
• B． $\frac{25}{8}$
• C． $\frac{100}{9}$
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，可得直線經(jīng)過焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1）．與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、焦點(diǎn)弦長公式即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，
∴直線經(jīng)過焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$①，x₁x₂=1②．
∵$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，
∴x₁-1+4（x₂-1）=0．
∴x₁+4x₂=5③．
聯(lián)立①②③解得x₁=4，x₂=$\frac{1}{4}$，k²=$\frac{16}{9}$．
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{25}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、焦點(diǎn)弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．