Question

19．在一次解題比賽中，甲、乙兩組各四名同學(xué)答對(duì)題目數(shù)如莖葉圖所示．
（1）當(dāng)X=8，求乙組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)的平均數(shù)和方差；
（2）當(dāng)X=9，用抽簽的方法分別從甲、乙兩組各選取一名同學(xué)，若這兩名同學(xué)答對(duì)題目數(shù)的和為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（注：方差s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，其中$\overline{x}$為x₁，x₂，…，x_n的平均數(shù)）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖知乙組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)為8，8，9，10，由此能求出乙組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)的平均數(shù)和方差．
（2）當(dāng)X=9時(shí)，由莖呀圖知甲組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)為9，9，11，11，乙組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)為9，8，9，10，分別從甲、乙兩組各選一名學(xué)生，基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}$，這兩名同學(xué)答對(duì)題目數(shù)的和為Y，則Y的可能取值為17，18，19，20，21，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖知乙組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)為8，8，9，10，
∴乙組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)的平均數(shù)$\overline{x}$=$\frac{8+8+9+10}{4}$=$\frac{35}{4}$，
乙組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)的方差S²=$\frac{1}{4}$[（8-$\frac{35}{4}$）²+（8-$\frac{35}{4}$）²+（9-$\frac{35}{4}$）²+（10-$\frac{35}{4}$）²]=$\frac{11}{16}$．
（2）當(dāng)X=9時(shí)，由莖呀圖知甲組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)為9，9，11，11，乙組同學(xué)答對(duì)題目數(shù)為9，8，9，10，
分別從甲、乙兩組各選一名學(xué)生，基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}$=16，
這兩名同學(xué)答對(duì)題目數(shù)的和為Y，則Y的可能取值為17，18，19，20，21，
P（X=17）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{16}$=$\frac{2}{16}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=18）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{16}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=19）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{16}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=20）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{16}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=21）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{16}$=$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
∴X的分布列為：

X	17	18	19	20	21
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

EX=$17×\frac{1}{8}+18×\frac{1}{4}+19×\frac{1}{4}+20×\frac{1}{4}+21×\frac{1}{8}$=19．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平均數(shù)和方差的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．