Question

19．在一次解題比賽中，甲、乙兩組各四名同學答對題目數如莖葉圖所示．
（1）當X=8，求乙組同學答對題目數的平均數和方差；
（2）當X=9，用抽簽的方法分別從甲、乙兩組各選取一名同學，若這兩名同學答對題目數的和為Y，求Y的分布列和數學期望．
（注：方差s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，其中$\overline{x}$為x₁，x₂，…，x_n的平均數）

Answer 1

分析 （1）當X=8時，由莖葉圖知乙組同學答對題目數為8，8，9，10，由此能求出乙組同學答對題目數的平均數和方差．
（2）當X=9時，由莖呀圖知甲組同學答對題目數為9，9，11，11，乙組同學答對題目數為9，8，9，10，分別從甲、乙兩組各選一名學生，基本事件總數n=${C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}$，這兩名同學答對題目數的和為Y，則Y的可能取值為17，18，19，20，21，分別求出相應的概率，由此能求出Y的分布列和數學期望．

解答 解：（1）當X=8時，由莖葉圖知乙組同學答對題目數為8，8，9，10，
∴乙組同學答對題目數的平均數$\overline{x}$=$\frac{8+8+9+10}{4}$=$\frac{35}{4}$，
乙組同學答對題目數的方差S²=$\frac{1}{4}$[（8-$\frac{35}{4}$）²+（8-$\frac{35}{4}$）²+（9-$\frac{35}{4}$）²+（10-$\frac{35}{4}$）²]=$\frac{11}{16}$．
（2）當X=9時，由莖呀圖知甲組同學答對題目數為9，9，11，11，乙組同學答對題目數為9，8，9，10，
分別從甲、乙兩組各選一名學生，基本事件總數n=${C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}$=16，
這兩名同學答對題目數的和為Y，則Y的可能取值為17，18，19，20，21，
P（X=17）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{16}$=$\frac{2}{16}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=18）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{16}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=19）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{16}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=20）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{16}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=21）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{16}$=$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
∴X的分布列為：

X	17	18	19	20	21
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

EX=$17×\frac{1}{8}+18×\frac{1}{4}+19×\frac{1}{4}+20×\frac{1}{4}+21×\frac{1}{8}$=19．

點評 本題考查平均數和方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．