Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，判斷f（x）與f（-x）的大�。�

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）作差，構(gòu)造函數(shù)g（x），通過討論g（x）的單調(diào)性，求出g（x）≤0，從而比較出其大小即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{{xe}^{x}}{{（1+x）}^{2}}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜0且x≠-1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1），（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）∵f（x）-f（-x）=$\frac{（1-x{）e}^{x}-（1+x{）e}^{-x}}{1{-x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=（1-x）e^x-（1+x）e^-x=（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{x（1{-e}^{2x}）}{{e}^{x}}$，
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1）遞減，
∴g（x）≤g（0）=0，
∴f（x）-f（-x）≤0，
即f（x）≤f（-x），（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)“=”成立）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．